从汉至元政治制度的演变可以概括为以下几个阶段：
汉朝
地方管理：汉初实行郡国并行制，后通过推恩令等措施削弱诸侯王权力，加强中央集权。
中央政治制度：设立三公（丞相、御史大夫、太尉）和中朝（决策机构）外朝（执行机构）尚书台（中枢机构）。
魏晋南北朝
中央政治制度：逐步形成三省体制，尚书省、中书省、门下省逐渐成为最高统治机构。
地方政治制度：地方军镇长官节度使权力增大，形成藩镇割据局面。
隋唐时期
中央政治制度：唐朝实行三省六部制，三省（中书省、门下省、尚书省）分工明确，相互牵制和监督，削弱相权，保证皇权独尊。
地方政治制度：地方设道州县三级制，后期节度使权力过大，形成藩镇割据。
北宋
中央政治制度：中书门下为最高行政机构，增设参知政事、枢密使和三司使，分割宰相的行政权、军权和财权。
地方政治制度：派文臣任地方长官，设通判负责监督，地方赋税大部分归中央掌控。
元朝
中央政治制度：中书省为最高行政机构，长官行使宰相职权，相权得到加强。元朝后期宰相权势过大，有时可左右皇位继承。
地方政治制度：实行行省制度，行省之下设路、府、州、县，边远民族地区由宣慰司管理，行省长官拥有经济军事大权，但受中央节制。
法律制度
从汉朝的律令制度，到唐朝的律令格式制度，再到宋朝的律令格式例制度，法律制度逐步完善，形成较为完善的法律体系。
军事制度
从汉朝的军府制度，到唐朝的藩镇制度，再到宋朝的禁军制度，军事制度不断变革，逐步完善军事管理体系。
选官制度
从汉朝的察举制，到唐朝的科举制，再到宋朝的恩荫制，选官制度逐步发展，形成相对公平、公正的选拔机制。
总结来看，从汉至元政治制度的演变主要特点是中央集权制度不断加强，相权逐渐削弱，地方权力逐步削弱，皇权不断加强。同时，选官制度和法律制度也逐步完善，体现了社会公平和公正的原则。