中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它表明在适当的条件下，大量相互独立且同分布的随机变量的平均值将趋近于正态分布。以下是一些中心极限定理的例题：
例1：食堂窗口规划问题
学校食堂每天中午需要为全校约10000名学生提供午餐。每个学生在窗口打饭的时间服从指数分布，期望为2分钟，方差为1分钟^2。为了在90分钟内让所有学生打完饭，需要确定至少需要开设多少个窗口。
分析：设需要开设k个窗口，总打饭时间为X，则X服从参数为n=10000，p=1/2的指数分布。
求解：利用棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，将X近似为正态分布N（20000, 10000）。通过标准化，得到Z=（X-20000）/sqrt（10000） ~ N（0,1）。求解P（9000 <= X <= 11000） ≈ P（-1.58 <= Z <= 1.58） ≈ 0.9，因此至少需要开设57个窗口。
例2：炮兵阵地射击命中数
某炮兵阵地进行100次射击，每次射击的命中数是一个随机变量，期望为2，方差为1.69。求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
分析：设X_k表示第k次射击中的炮弹数，则X_k ~ B（1, 0.2），且X_1 + X_2 + ... + X_100 ~ N（200, 169）。
求解：标准化后得到Z = （X - 200） / 13 ≈ N（0,1），求解P（180 <= X <= 220） = P（14.6 <= Z <= 15.4） ≈ 0.8764。
例3：系统可靠性
一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为0.1。求系统正常工作的概率（至少85个元件正常工作）。
分析：设X表示正常工作的元件数，则X ~ B（100, 0.9）。
求解：利用二项分布的正态近似，X ≈ N（90.5, 9.01），系统正常工作的概率为P（X >= 85） ≈ 0.9525。
例4：噪声信号
一仪器同时受到108个噪声信号X_i，设它们是相互独立的且都服从[0,4]上的均匀分布。
分析：设Y为这些噪声信号的总和，则Y ~ U（0, 408）。
求解：标准化后得到Z = Y / sqrt（108） ~ N（0,1），利用切比雪夫不等式求解P（|Y - 204| < 60） ≈ 0.9。
例5：学生家长会家长数
一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。
分析：设X表示一个学生参加会议的家长数，则X ~ B（400, 0.05）。
求解：求解P（X > 450） ≈ 0.001，P（X <= 340） ≈ 0.493。
这些例题展示了中心极限定理在不同场景下的应用，通过将独立同分布的随机变量之和近似为正态分布，可以简化概率计算和求解过程。