求数列的通项公式有多种方法，以下是一些常见的方法：
等差数列求通项公式
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则其通项公式为：
$$
a_n = a_1 + （n-1）d
$$
等比数列求通项公式
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，则其通项公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{（n-1）}
$$
累加法
当数列$\{a_n\}$满足$a_n - a_{n-1} = f（n）$（$n \geq 2$）时，可以采用累加法求通项公式。例如，已知$a_1 = 1$，$a_n - a_{n-1} = 2n - 1$（$n \geq 2$），则：
$$
a_n - a_1 = 3 + 5 + 7 + \ldots + （2n-1）
$$
这是一个首项为3，末项为$2n-1$，公差为2的等差数列的和，其和为：
$$
a_n = 1 + \frac{（n-1）（3 + 2n - 1）}{2} = n^2
$$
累乘法
若数列$\{a_n\}$满足$\frac{a_n}{a_{n-1}} = f（n）$（$n \geq 2$），则可以用累乘法。例如，已知$a_1 = 2$，$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{n}{n-1}$（$n \geq 2$），则：
$$
a_n = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{n-1} = n
$$
构造法
对于形如$a_n = pa_{n-1} + q$（$p \neq 1$）的递推关系，可以通过构造等比数列来求通项。例如，已知$a_n = 2a_{n-1} + 3$，$a_1 = 1$，则设$a_n + x = 2（a_{n-1} + x）$，展开后得到$a_n = 2a_{n-1} + x$，对比原式可知$x = 3$。则数列$\{a_n + 3\}$是以$a_1 + 3 = 4$为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：
$$
a_n + 3 = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}
$$
所以：
$$
a_n = 2^{n+1} - 3
$$
特征根法
对于具有特征方程的数列，可以通过求解特征方程来找到通项公式。例如，对于数列$\{a_n\}$，其特征方程为：
$$
r^n = ar^{n-1} + b
$$
解得特征根$r$后，通项公式为：
$$
a_n = \sum_{i=0}^{n-1} c_i r^i
$$
其中$c_i$是特征根的系数。
归纳法
通过数学归纳法可以证明某些数列的通项公式。首先验证$n=1$时公式成立，然后假设对某个$k$公式成立，证明对$k+1$也成立。
错位相减法
对于某些递推数列，可以通过错位相减法求出通项公式。例如，对于数列$\{a_n\}$，设其前$n$项和为$S_n$，则有：
$$
S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n
$$
$$
S_{n-1} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1}
$$
两式相