向量的叉乘运算公式如下：
定义
向量叉乘，也称为向量的外积或向量积，是一种在向量空间中定义的二元运算。对于两个三维向量 \（\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）\） 和 \（\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）\），它们的叉乘 \（\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}\） 是一个新的向量，其分量由以下公式给出：
\[
\mathbf{c} = （c_1, c_2, c_3） = （a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1）
\]
模长
叉乘结果向量 \（\mathbf{c}\） 的模长等于原始两个向量所围成的平行四边形的面积，计算公式为：
\[
|\mathbf{c}| = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta
\]
其中，\（\theta\） 是向量 \（\mathbf{a}\） 和 \（\mathbf{b}\） 之间的夹角。
方向
叉乘结果向量 \（\mathbf{c}\） 的方向垂直于原始两个向量所围成的平面，并且其方向可以用“右手法则”来判断。具体地，用右手的四指先表示向量 \（\mathbf{a}\） 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量 \（\mathbf{b}\） 的方向，大拇指所指的方向就是向量 \（\mathbf{c}\） 的方向。
反交换律
向量的叉乘满足反交换律，即：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}
\]
这意味着交换两个向量的顺序，结果向量的方向会相反。
分配律
向量的叉乘满足分配律，即：
\[
\mathbf{a} \times （\mathbf{b} + \mathbf{c}） = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}
\]
和
\[
（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}
\]
这些公式在物理学、几何学、计算机图形学等多个领域都有广泛应用，例如计算力矩、确定磁场方向等。