平面向量基本定理是向量理论中的一个重要定理，它表明：
共面向量定理：
如果两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 不共线，那么任意向量 $\mathbf{p}$ 与 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 共面的充要条件是存在唯一的一对实数 $x$ 和 $y$，使得 $\mathbf{p} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}$。
坐标表示：
在平面直角坐标系中，如果取与 $x$ 轴和 $y$ 轴方向相同的两个单位向量 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 作为基底，则平面内任意向量 $\mathbf{a}$ 可以表示为 $\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$，其中 $（x, y）$ 是向量 $\mathbf{a}$ 的坐标。
基底的唯一性：
不共线的向量 $\mathbf{e}_1$ 和 $\mathbf{e}_2$ 称为表示该平面内所有向量的一组基，且对于平面内的任意向量 $\mathbf{a}$，存在唯一的一对实数 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 使得 $\mathbf{a} = \lambda_1\mathbf{e}_1 + \lambda_2\mathbf{e}_2$。
正交基：
如果基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基。在正交基下，向量的线性表示称为正交分解。
标准正交基：
若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基。在标准正交基下，向量的线性表示称为标准正交分解。
这些定理和性质是向量理论的基础，广泛应用于几何、物理和工程领域。通过平面向量基本定理，可以方便地进行向量的合成与分解，以及向量的坐标表示，从而解决各种实际问题。