基本不等式
$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。
平方和与平方差
$a^2 + b^2 \geq 2ab$，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。
$a^2 + b^2 \geq \frac{（a + b）^2}{2}$，这个不等式总是成立，且当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。
算术平均数与几何平均数
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。
$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，这个不等式总是成立，且当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。
柯西不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \ldots, b_n$，有 $（a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2）$，当且仅当 $a_i = \lambda b_i$（$\lambda$ 为常数，$i = 1, 2, \ldots, n$）时，等号成立。
排序不等式
若 $a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n$ 且 $b_1 \geq b_2 \geq \ldots \geq b_n$，则 $a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \geq a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_3 + \ldots + a_ib_j + \ldots + a_nb_1 \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + a_3b_{n-2} + \ldots + a_nb_1$，仅当 $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ 且 $b_1 = b_2 = \ldots = b_n$ 时，等号成立。
这些不等式公式在数学证明、最值问题求解以及实际问题分析中非常有用。建议在实际应用中，根据具体问题的需求选择合适的不等式进行推导和证明。