周期函数的基本性质和公式如下：
周期性定义
如果存在一个正数 \（T\），使得对于所有 \（x\），都有 \（f（x + T） = f（x）\），则称函数 \（f（x）\） 是周期函数，而 \（T\） 称为该函数的周期。
基本周期性质
\（f（x + T） = f（x）\） 表示函数在 \（x\） 和 \（x + T\） 处的取值相同。
最小正周期 \（t\） 是使得上述等式成立的最小的正数 \（T\）。
三角函数周期性
正弦函数 \（\sin（x）\）：周期 \（T = 2\pi\），因为 \（\sin（x + 2\pi） = \sin（x）\）。
余弦函数 \（\cos（x）\）：周期 \（T = 2\pi\），因为 \（\cos（x + 2\pi） = \cos（x）\）。
正切函数 \（\tan（x）\）：周期 \（T = \pi\），因为 \（\tan（x + \pi） = \tan（x）\）。
余切函数 \（\cot（x）\）：周期 \（T = \pi\），因为 \（\cot（x + \pi） = \cot（x）\）。
其他三角函数周期性
正割函数 \（\sec（x）\）：周期 \（T = 2\pi\）。
余割函数 \（\csc（x）\）：周期 \（T = 2\pi\）。
周期函数的运算性质
如果 \（f（x）\） 和 \（g（x）\） 分别以 \（T_1\） 和 \（T_2\） 为周期，则 \（f（x） + g（x）\） 的周期是 \（T_1\） 和 \（T_2\） 的最小公倍数。
如果 \（f（x）\） 是周期函数，周期为 \（T\），则 \（f（ax + b）\） 的周期是 \（\frac{T}{|a|}\）。
特殊关系式
如果 \（f（x + a） = -f（x）\），则 \（f（x）\） 的周期是 \（2a\）。
如果 \（f（x + a） = \frac{1}{f（x）}\），则 \（f（x）\） 的周期也是 \（2a\）。
这些公式和性质是理解和分析周期函数的基础。