分部积分法的公式为：
\[
\int u'v \, dx = uv - \int uv' \, dx
\]
也可以简写为：
\[
\int v \, du = uv - \int u \, dv
\]
其中，\（ u \） 和 \（ v \） 是两个具有连续导数的函数。这个公式表明，我们可以通过将被积函数 \（ u'v \） 分解为 \（ uv' + vdu \） 并分别积分来简化积分的计算。选择合适的 \（ u \） 和 \（ v \） 可以使得原本难以计算的积分变得容易处理。
推导
分部积分法的推导基于乘积法则的逆运算。具体步骤如下：
1. 根据乘积法则，有：
\[
（uv）' = u'v + uv'
\]
2. 将等式两边同时积分：
\[
\int （uv）' \, dx = \int （u'v + uv'） \, dx
\]
3. 左边根据微积分基本定理可以直接积分得到 \（ uv \），右边则拆分为两个积分：
\[
uv = \int u'v \, dx + \int uv' \, dx
\]
4. 将等式重新整理，得到分部积分公式：
\[
\int u'v \, dx = uv - \int uv' \, dx
\]
应用
分部积分法在处理含有乘积的积分时非常有用，特别是当其中一个函数（如 \（ u \））的导数比原函数更容易求时。通过选择合适的 \（ u \） 和 \（ v \），可以将复杂的积分转化为简单的形式，从而简化计算过程。
例子
假设我们要计算以下积分：
\[
\int x e^x \, dx
\]
我们可以选择 \（ u = x \） 和 \（ dv = e^x \, dx \），则 \（ du = dx \） 和 \（ v = e^x \）。应用分部积分公式：
\[
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C
\]
这样，原本复杂的积分就转化为了容易计算的形式。
总结
分部积分法是一种强大的积分技巧，通过将乘积形式的积分转化为两个较简单的积分之差，可以大大简化计算过程。掌握这个公式及其推导方法，可以更有效地解决微积分中的积分问题。