机械能守恒定律的数学表达式主要有以下几种形式：
状态式
初始状态的机械能等于末态的机械能：
\[ E_k1 + E_p1 = E_k2 + E_p2 \]
其中，\（ E_k \） 表示物体的动能，\（ E_p \） 表示物体的势能。这个公式表明，在没有外力做功的情况下，系统内物体的动能和势能之和保持不变。
过程式
外力做的功等于机械能的变化量：
\[ W_g + W_{fn} = \Delta E_k \]
其中，\（ W_g \） 是重力做的功，\（ W_{fn} \） 是系统内其他力（如弹力）做的功，\（ \Delta E_k \） 是动能的变化量。这个公式说明，在只有保守力（如重力或弹力）做功的情况下，系统的机械能保持不变。
具体应用形式
在只有重力做功的情况下，机械能守恒定律可以简化为：
\[ E_k0 + E_p0 = E_k1 + E_p1 \]
其中，\（ E_k0 \） 和 \（ E_p0 \） 分别是初始状态的动能和势能，\（ E_k1 \） 和 \（ E_p1 \） 分别是末态的动能和势能。这个公式在分析物体在重力场中运动时非常有用。
弹性势能的表达式
弹性势能 \（ E_p \） 可以表示为：
\[ E_p = \frac{1}{2} k x^2 \]
其中，\（ k \） 是物体的劲度系数，\（ x \） 是弹簧的伸长量。这个公式在分析弹簧弹性势能时非常有用。
这些表达式是机械能守恒定律的基本形式，适用于不同的物理情境和分析需求。在应用时，需要根据具体问题选择合适的表达式，并注意确定重力势能的参考平面。