柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中一个基本且重要的不等式，它有多种表述方式，但最常见的是二维形式和三角形式。以下是柯西不等式的高中公式：
二维形式
\[
（a^2 + b^2）（c^2 + d^2） \geq （ac + bd）^2
\]
其中，当且仅当 \（ ad = bc \） 时，等号成立。
三角形式
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{（a - c）^2 + （b - d）^2}
\]
其中，当且仅当 \（ a = c \） 且 \（ b = d \） 时，等号成立。
向量形式
设 \（ \alpha \） 和 \（ \beta \） 是平面上的两个向量，则
\[
|\alpha| \cdot |\beta| \geq |\alpha \cdot \beta|
\]
其中，当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时，等号成立。特别地，若 \（ \beta \） 是零向量，或存在实数 \（ k \） 使得 \（ \alpha = k \beta \），则等号成立。
数列形式
对于任意两个实数序列 \（ \{a_i\} \） 和 \（ \{b_i\} \），有
\[
\left（ \sum_{i=1}^n a_i^2 \right） \left（ \sum_{i=1}^n b_i^2 \right） \geq \left（ \sum_{i=1}^n a_i b_i \right）^2
\]
其中，等号成立当且仅当存在实数 \（ c_i \） 使得 \（ a_i = c_i b_i \） 对所有 \（ i \） 成立。
这些公式在解决不等式证明、向量内积性质以及数学分析中的许多问题中都有广泛应用。建议在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的形式进行推导和证明。