利用基本不等式求最值通常涉及以下几种方法：
直接法
如果问题和条件之间存在基本不等式的关系，可以直接利用这些不等式来求最值。
配凑法
通过配凑，将问题转化为“和为常数”或“积为常数”的形式，然后应用基本不等式求解最值。
常数代换法
当已知某些变量的和为常数时，可以通过代换将这些变量消去，从而简化问题，并利用基本不等式求最值。
消元法
在变量较多的问题中，可以通过已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求解最值。
平方差等式法
适用于求二次函数的最值，特别是当函数没有临界点时，可以通过平方差等式法求解。
应用基本不等式求最值的条件
在应用基本不等式求最值时，必须满足以下三个条件：
一正：
各项必须为正数。
二定：
要求和的最小值时，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值时，则必须把构成积的因式的和转化成定值。
三相等：
在满足上述条件的情况下，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值。
示例
例1：求 $x^2 + y^2$ 的最大值，已知 $x \geq 0, y \geq 0$ 且 $x + y = 1$。
令 $z = x^2 + y^2$，由 $x + y = 1$ 得 $y = 1 - x$。
代入得 $z = x^2 + （1 - x）^2 = 2（x - 1/2）^2 + 1/2$。
利用二次函数的图像可知，当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 时，$z$ 有最大值 1。
例2：求 $ab$ 的最大值，已知 $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 1$。
由基本不等式 $ab \leq \frac{（a + b）^2}{4}$，代入 $a + b = 1$ 得 $ab \leq \frac{1}{4}$。
当且仅当 $a = b = \frac{1}{2}$ 时，等号成立，即 $ab$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$。
通过这些方法和技巧，可以有效地利用基本不等式求解各种最值问题。