担保人在承担担保责任后，其追偿权主要依据《中华人民共和国民法典》第七百条及相关司法解释予以明确。以下是具体的追偿方式和注意事项：
直接追偿权
担保人承担保证责任后，有权在其承担保证责任的范围内向债务人追偿。
如果生效法律文书已经确认担保人承担担保责任并明确了追偿权，担保人可以直接向人民法院申请执行主债务人，无需另行起诉。
追偿权的行使方式
担保人可以通过执行程序行使追偿权，也可以选择另行提起追偿权诉讼。
如果生效法律文书未明确担保人可以向主债务人行使追偿权，则担保人需要另行起诉。
担保人之间的追偿
如果担保人之间有约定，如各自承担的份额或共同担保的约定，担保人可以根据约定向其他担保人追偿其应当分担的份额。
如果担保人之间没有明确约定，一般视为份额相同，担保人平等地承担责任，可以向其他担保人追偿相应份额。
追偿权的诉讼时效
担保人向债务人行使追偿权的诉讼时效，自保证人向债权人承担责任之日起开始计算。
追偿权的范围
担保人追偿权的范围应当限定在抵押担保责任范围内，除非法律另有规定。
其他注意事项
担保人在承担担保责任时，应当注意收集相关证据，以证明债务人确实无法或无力偿还债务，以便更有效地维护自身权益。
在提起诉讼时，建议将债务人和其他担保人列为被告，并要求其他担保人在一定比例范围内对债务人的债务承担连带责任，以降低诉讼风险。
综上所述，担保人在承担担保责任后，可以通过直接申请执行或另行起诉的方式向债务人行使追偿权，并且可以根据约定向其他担保人追偿其应当分担的份额。在行使追偿权时，担保人应当注意收集证据并选择合适的诉讼策略，以维护自身合法权益。