数学中向量的公式主要包括向量的加法、减法、数乘、点积（数量积）以及向量的模（长度）等基本运算。以下是向量的基本公式：
向量加法
向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法运算律：
交换律：`a + b = b + a`
结合律：`（a + b） + c = a + （b + c）`
向量加法的坐标运算：`a + b = （x1 + x2, y1 + y2）`
向量减法
向量减法满足三角形法则。
向量减法的坐标运算：`a - b = （x1 - x2, y1 - y2）`
数乘向量
实数`λ`和向量`a`的乘积是一个向量，记作`λa`。
向量数乘的模：`|λa| = |λ| * |a|`
当`λ > 0`时，`λa`与`a`同方向；
当`λ < 0`时，`λa`与`a`反方向；
当`λ = 0`时，`λa = 0`，方向任意。
向量的点积（数量积）
定义：已知两个非零向量`a`和`b`，作`OA = a`, `OB = b`，则角`AOB`称作向量`a`和向量`b`的夹角，记作`〈a, b〉`。数量积是一个数量，记作`a·b`。
点积的坐标表示：`a·b = x1x2 + y1y2`
如果`a`和`b`不共线，则`a·b = |a|·|b|·cos〈a, b〉`；
如果`a`和`b`共线，则`a·b = ±|a||b|`。
向量的模（长度）
向量`a`的模（长度）记作`|a|`，计算公式为`|a| = √（x1^2 + y1^2）`。
向量的垂直与平行条件
如果向量`a`与向量`b`垂直，则`a·b = 0`。
如果向量`a`与向量`b`平行，则`a·b = ±|a||b|`。
以上是向量的基本运算公式。