柯西不等式有多种形式，以下是几种常见的形式：
二维形式
\[
（a^2 + b^2）（c^2 + d^2） \geq （ac + bd）^2
\]
等号成立条件：$ad = bc$。
三角形式
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{（a - c）^2 + （b - d）^2}
\]
等号成立条件：$ad = bc$。
向量形式
\[
|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \geq |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|
\]
其中，$\mathbf{a} = （a_1, a_2, \ldots, a_n）$ 和 $\mathbf{b} = （b_1, b_2, \ldots, b_n）$ 是两个 $n$ 维实向量。等号成立条件：$\mathbf{b} = \lambda \mathbf{a}$（$\lambda \in \mathbb{R}$）。
一般形式
\[
\left（ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right） \left（ \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right） \geq \left（ \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right）^2
\]
等号成立条件：$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$，或 $a_i = 0$ 或 $b_i = 0$ 对于所有 $i$。
特殊情形
三元柯西不等式：
\[
（a^2 + b^2 + c^2） + （d^2 + e^2 + f^2） = （ad + be + fc）^2
\]
等号成立条件：$a^2 + b^2 + c^2 = d^2 + e^2 + f^2$ 且 $a = d$，$b = e$，$c = f$。
这些公式在数学分析、线性代数、泛函分析等领域有广泛应用，是解决不等式证明和求最值问题的重要工具。建议在实际应用中根据具体问题选择合适的形式。