三角形的三线合一定理是指 在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线互相重合的性质。具体来说，如果一个三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，或者一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
证明
已知 ：三角形ABC是等腰三角形，且AB = AC。证明：
AD是底边BC上的中线，且AD同时是底边BC上的高线和顶角A的角平分线。
由于AB = AC，根据等腰三角形的性质，底角∠B = ∠C。
AD是BC的中线，所以BD = DC。
由于AB = AC，AD = AD（公共边），根据SSS全等条件，三角形ABD ≌ ACD。
因此，∠BAD = ∠CAD，且∠ADB = ∠ADC。
由于∠ADB + ∠ADC = ∠BDC，且∠BDC = 180°，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。
因此，AD ⊥ BC，且AD平分∠BAC。
应用
判定等腰三角形
如果一个角的角平分线与其对边的高重合，则该三角形是等腰三角形。
如果三角形一条边的中线与这条边上的高重合，则该三角形是等腰三角形。
推导其他结论
在等腰三角形中，如果一边上的高线与此边上的中线重合，可以推导出此三角形为等腰三角形。
备注
三线合一的定理仅适用于等腰三角形，不适用于其他类型的三角形。
等边三角形作为等腰三角形的一种特殊情况，也满足三线合一的条件。