求函数的值域有多种方法，以下是一些常用的方法：
观察法
对于简单的函数，可以直接观察函数表达式，确定其值域。例如，函数 $y = 1 - \sqrt{x}$ 的值域是 $（-\infty, 1]$，因为平方根函数的结果总是非负的，所以 $1 - \sqrt{x}$ 的最大值是 1，且可以取到任意小的负数。
配方法
对于二次函数，通过配方找到其最大值或最小值，从而确定值域。例如，函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 可以配方为 $y = （x - 2）^2 - 1$，其值域是 $[-1, +\infty）$，因为 $（x - 2）^2$ 的最小值是 0，所以 $y$ 的最小值是 -1。
常数分离法
对于分数形式的函数，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。例如，函数 $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ 可以写成 $y = x + \frac{1}{x}$，通过观察可知其值域是 $（-\infty, -2] \cup [2, +\infty）$。
逆求法
对于 $y = f（x）$ 的形式，可以表示为 $x = f^{-1}（y）$，此时可看 $y$ 的限制范围，即为原函数的值域。例如，函数 $y = x^2 - 1$ 的反函数是 $x = \sqrt{y + 1}$，其定义域是 $y \geq -1$，所以原函数的值域是 $[-1, +\infty）$。
求导法
函数导数为零的点可能是极值点，通过求导数并观察定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，即为值域。例如，函数 $y = 3 - 2x - x^2$ 的导数为 $y' = -2 - 2x$，令 $y' = 0$ 得 $x = -1$，结合端点值，其值域是 $[-3, 1]$。
换元法
对于复杂的函数，可以通过换元简化表达式，然后求值域。例如，函数 $y = -x + 2\sqrt{x - 1} + 2$ 可以令 $t = \sqrt{x - 1}$，则 $t \geq 0$，$x = t^2 + 1$，代入得 $y = -t^2 + 2t + 1 = -（t - 1）^2 + 2$，其值域是 $（-\infty, 2]$。
判别式法
把函数转化成关于 $x$ 的二次方程，通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。例如，函数 $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ 可以化为 $yx - 1 = x^2$，即 $x^2 - yx + 1 = 0$，判别式 $\Delta = y^2 - 4$，要求方程有实数根，则 $\Delta \geq 0$，即 $y^2 \geq 4$，所以 $y \leq -2$ 或 $y \geq 2$，其值域是 $（-\infty, -2] \cup [2, +\infty）$。
图形法
利用函数的图像来直观地确定值域。通过绘制函数图像，观察其纵坐标的取值范围，即可得到值域。例如，函数 $y = \sin x$ 的值域是 $[-1, 1]$，通过图像可以直观地看出这一点。
单调性法
利用函数的单调性确定其值域。如果函数在定义域内单调递增或递减，其值域就是其最大值和最小值之间的所有实数。例如，函数 $y = e^x$ 在其定义域内单调递增，其值域是 $（0, +\infty