一元二次方程的求根公式为：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
其中，$a$、$b$、$c$ 分别是一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的二次项系数、一次项系数和常数项。
判别式
在求根公式中，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 起着关键作用，它决定了方程根的性质：
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，方程没有实数根，而是两个共轭复数根。
求根公式的应用
在实际应用中，我们首先需要计算判别式 $\Delta$ 的值，然后根据其值使用求根公式计算方程的根。如果 $\Delta \geq 0$，则方程有实数解；如果 $\Delta < 0$，则方程有复数解。
示例
对于方程 $2x^2 - 5x + 1 = 0$，其中 $a = 2$，$b = -5$，$c = 1$，代入求根公式得：
\[ x = \frac{-（-5） \pm \sqrt{（-5）^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \]
因此，方程的两个根分别是：
\[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4} \]