圆周角定理及其推论的证明如下：
圆周角定理
定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
几何语言：若弧AB所对的圆周角为∠C，圆心角为∠AOB，则有∠C = 1/2 ∠AOB。
推论1
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
几何语言：若弧AB和弧CD所对的圆周角分别为∠C和∠D，则有∠C = ∠D，且弧AB = 弧CD。
推论2
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
几何语言：若弧AB是半圆，则∠ACB = 90°；若∠ACB = 90°，则弦AB是直径。
推论3
推论：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
几何语言：若三角形ABC中，M是BC的中点，且AM = MB，则∠BAC = 90°。
证明
情况1：圆心O在圆周角∠BAC的边上
1. 若A、O、B在同一直线上，OA = OC，则∠BAC = ∠ACO（等边对等角）。
2. ∠BOC为∠BAC的外角，∠BOC = ∠BAD + ∠CAD = 2∠BAC。
情况2：圆心O在圆周角∠BAC的内部
1. 连接AO并延长交⊙O于D，则OA = OB = OC（半径相等）。
2. ∠BAD = ∠ABO，∠CAD = ∠ACO（等腰三角形底角相等）。
3. ∠BOD = ∠BAD + ∠ABO = 2∠BAD，∠COD = ∠CAD + ∠ACO = 2∠CAD。
4. ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = 2（∠BAD + ∠CAD） = 2∠BAC。
情况3：圆心O在圆周角∠BAC的外部
1. 连接AO并延长交⊙O于D，连接OB、OC。
2. ∠BAD = ∠AOD，∠CBD = ∠COD（对顶角相等）。
3. ∠BOC = ∠BOD + ∠COD = （∠BAD + ∠AOD） + （∠CAD + ∠COD） = 2（∠BAD + ∠CAD） = 2∠BAC。
结论
通过以上三种情况的证明，我们可以得出圆周角定理及其推论的结论。这些结论在几何问题中有着广泛的应用，特别是在解决与圆相关的角度关系和证明角的相等性时。