几何级数（Geometric Progression）是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项乘以一个固定的非零常数，这个常数称为公比（common ratio）。几何级数的一般形式可以表示为：
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^n, \ldots \]
其中：
\（ a \） 是数列的第一项，
\（ r \） 是公比（即每一项与前一项的比值），
\（ n \） 是项的序号（通常从0开始或从1开始）。
几何级数的和（Sum）可以通过以下公式计算：
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]
其中，\（ |r| < 1 \）。如果 \（ |r| \geq 1 \），则级数发散，没有和。
几何级数的性质
存在性和收敛性：
只要公比 \（ r \） 不等于1，几何级数一定存在，并且会收敛到一个特定的值。如果 \（ |r| < 1 \），级数收敛；如果 \（ |r| \geq 1 \），级数发散。
求和公式：
几何级数的和可以通过公式 \（ S = \frac{a}{1 - r} \） 计算出来，前提是 \（ |r| < 1 \）。
无限项和截断和：
几何级数是无穷级数，但我们可以通过截断来获得其部分和。
应用领域
几何级数在数学和实际问题中非常有用，例如在计算复利、人口增长、放射性衰变等领域。
示例
例如，如果一个数列是：1, 2, 4, 8, 16, ...，这是一个几何级数，其中首项 \（ a = 1 \），公比 \（ r = 2 \）。其和为：
\[ S = \frac{1}{1 - 2} = -1 \]
这个结果在实际应用中可能没有直接意义，但它展示了如何使用几何级数的求和公式。