射影定理的三个结论如下：
直角三角形射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式表示为：
\（ （AD）^2 = BD \cdot DC \）
\（ （AB）^2 = BD \cdot BC \）
\（ （AC）^2 = CD \cdot BC \）
其中，AD是斜边BC上的高，BD和CD分别是AB和AC在BC上的射影。
任意三角形射影定理
三角形的任一边等于其他两边在该边上的射影之和或之差。
公式表示为：
\（ a = b \cos C + c \cos B \）
\（ b = c \cos A + a \cos C \）
\（ c = a \cos B + b \cos A \）
其中，a、b、c分别是三角形的三边，A、B、C分别是对应的三个角。
勾股定理的射影定理证明
通过射影定理的公式可以推导出勾股定理：
\（ AB^2 + AC^2 = （BD + CD） \cdot AC = AC^2 \）
其中，AB、AC是直角三角形的两条直角边，BC是斜边，BD和CD分别是AB和AC在BC上的射影。
这些结论在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与三角形边长和角度相关的问题时非常有用。