数学期望公式用于计算随机变量的平均值，其定义依赖于随机变量的类型（离散或连续）。以下是数学期望的公式：
离散随机变量
$$
E（X） = \sum_{i=1}^{n} x_i p（x_i）
$$
其中，$x_i$ 是随机变量 $X$ 的可能取值，$p（x_i）$ 是取值 $x_i$ 的概率，$n$ 是可能取值的数量。
连续随机变量
$$
E（X） = \int_{-\infty}^{\infty} x f（x） \, dx
$$
其中，$f（x）$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数。
解释
离散随机变量的数学期望是将每个可能的取值乘以其对应的概率，然后将这些乘积相加。
连续随机变量的数学期望是通过对概率密度函数进行积分来计算的。
例子
离散随机变量：假设有一个掷骰子的实验，骰子的点数 $X$ 可能的取值为 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，每个取值的概率均为 $\frac{1}{6}$。则数学期望 $E（X）$ 为：
$$
E（X） = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
$$
连续随机变量：假设随机变量 $X$ 表示一个均匀分布在区间 $[a, b]$ 上的随机变量，其概率密度函数为 $f（x） = \frac{1}{b-a}$。则数学期望 $E（X）$ 为：
$$
E（X） = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b} = \frac{1}{b-a} \left（ \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right） = \frac{b+a}{2}
$$
这些公式在概率论和统计学中非常重要，用于描述随机变量的平均行为。