正交变换是线性代数中的一个概念，它指的是将一个向量空间中的向量通过一个特定的线性变换映射到同一向量空间中，同时保持向量间的内积不变。具体来说，正交变换具有以下性质：
保持内积不变：
对于任意两个向量 \（u\） 和 \（v\），变换后的内积等于变换前的内积，即 \（⟨u, v⟩ = ⟨T（u）, T（v）⟩\）。
保持向量长度不变：
变换前后向量的长度（模）保持不变，即 \（||T（u）|| = ||u||\）。
保持向量间夹角不变：
由于长度不变，变换前后向量间的夹角也保持不变。
可逆性：
正交变换是可逆的，变换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
行列式值为±1：
正交变换对应的矩阵行列式值为 \（+1\） 或 \（-1\）。
正交变换在数学、物理和工程领域都有广泛的应用，例如在信号处理、图像处理、量子力学和数值分析中。常见的正交变换包括离散傅里叶变换（DFT）、离散余弦变换（DCT）等。
正交变换的一个重要应用是化简二次型为标准型，这在优化问题和系统分析中非常有用。此外，正交变换也是量子力学中描述量子态演化的基础。