一元二次函数的图像和性质如下：
图像形状
一元二次函数的图像是一条抛物线。
对称性
抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 $x = -\frac{b}{2a}$。
当 $b = 0$ 时，抛物线的对称轴是y轴（即直线 $x = 0$）。
开口方向
二次项系数 $a$ 决定抛物线的开口方向：
当 $a > 0$ 时，抛物线向上开口。
当 $a < 0$ 时，抛物线向下开口。
顶点
抛物线的顶点坐标为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。
与x轴的交点
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定了抛物线与x轴的交点个数：
当 $\Delta > 0$ 时，抛物线与x轴有两个交点。
当 $\Delta = 0$ 时，抛物线与x轴有一个交点。
当 $\Delta < 0$ 时，抛物线与x轴没有交点。
单调性
对于开口向上的抛物线（$a > 0$）：
在对称轴左侧，函数是单调递增的。
在对称轴右侧，函数是单调递减的。
对于开口向下的抛物线（$a < 0$）：
在对称轴左侧，函数是单调递减的。
在对称轴右侧，函数是单调递增的。
最值
当 $a > 0$ 时，函数有最小值，无最大值，最小值在对称轴上取得，即 $y_{\text{min}} = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
当 $a < 0$ 时，函数有最大值，无最小值，最大值在对称轴上取得，即 $y_{\text{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
对称关系
对于一般式 $y = ax^2 + bx + c$：
$y = ax^2 + bx + c$ 与 $y = ax^2 - bx + c$ 的图像关于y轴对称。
$y = ax^2 + bx + c$ 与 $y = -ax^2 - bx - c$ 的图像关于x轴对称。
$y = ax^2 + bx + c$ 与 $y = -ax^2 - bx + c - \frac{b^2}{2a}$ 的图像关于顶点对称。
$y = ax^2 + bx + c$ 与 $y = -ax^2 + bx - c$ 的图像关于原点中心对称。
这些性质可以帮助我们更好地理解和分析一元二次函数的图像，从而解决相关的数学问题。