三角函数的和差化积和积化和差公式如下：
和差化积公式：
1. $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left（ \frac{\alpha + \beta}{2} \right） \cos \left（ \frac{\alpha - \beta}{2} \right）$
2. $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left（ \frac{\alpha + \beta}{2} \right） \sin \left（ \frac{\alpha - \beta}{2} \right）$
3. $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left（ \frac{\alpha + \beta}{2} \right） \cos \left（ \frac{\alpha - \beta}{2} \right）$
4. $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left（ \frac{\alpha + \beta}{2} \right） \sin \left（ \frac{\alpha - \beta}{2} \right）$
积化和差公式：
1. $\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin（\alpha + \beta） + \sin（\alpha - \beta）]$
2. $\cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin（\alpha + \beta） - \sin（\alpha - \beta）]$
3. $\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos（\alpha + \beta） + \cos（\alpha - \beta）]$
4. $\sin \alpha \cdot \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos（\alpha + \beta） - \cos（\alpha - \beta）]$
这些公式在解决三角函数问题时非常有用，特别是在处理角度和差以及乘积时。通过这些公式，可以将复杂的三角函数表达式简化，从而更容易进行计算和分析。