截长补短是一种常用的几何解题方法，通过截取或补充线段，使得某些线段相等或构成特定的三角形，从而简化问题并找到解题思路。以下是几个经典例题：
例1：正方形中的线段关系
题目：在正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°。求证：EF=DE+BF。
证明：
1. 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
2. 由于ABCD是正方形，∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB，且DG=BF，所以ADG≌ABF（SAS）。
3. ∴ ∠GAD=∠FAB，AG=AF。
4. ∵ ABCD是正方形，∴ ∠DAB=90°=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF。
5. ∴ ∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°。
6. ∵ ∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE，∴ EAG≌EAF（SAS）。
7. ∴ EF=GE=GD+DE=BF+DE。
例2：四边形中的角度和
题目：在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：BAD+BCD=180°。
证明：
1. 过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F。
2. 由于BD平分∠ABC，∠DBE=∠DBC。
3. ∵ DE⊥BA，DF⊥BC，∠BDE=∠BFD=90°，∴ ∠DEB=∠DFB=90°。
4. ∴ ∠DBE+∠DEB=∠DBC+∠DFB，即∠BAD+∠BCD=180°。
例3：三角形中的线段和
题目：在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。
证明：
1. 在线段AC上截取AE=AB，连接DE。
2. ∵ AB=AE，∠1=∠2，AD=AD，∴ ABD≌AED。
3. ∴ BD=ED，∠B=∠AED，AB=AE。
4. ∵ ∠B=2∠C，∴ ∠AED=2∠C=∠EDC+∠C。
5. ∴ ∠EDC=∠C，∴ ED=EC（等角对等边）。
6. ∵ AC=AE+EC，∴ AC=AB+BD。
例4：四边形中的线段和与角度
题目：在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD且BD=CD，∠DBC=45°。过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，连结AF。求证：CF=AB+AF。
证明：
方法一（截长法）
在线段CF上截取CH=AB，连结DH。
∵ BD⊥CD，BE⊥CE，∴ ∠BEF=∠FDC=90°。
∴ ∠EBF+∠EFB=90°，∠FCD+∠DFC=90°。
∵ ∠EFB=∠DFB，∴ ∠EBF=∠FCD。
在ABD和HCD中，AB=HC，∠ADB=∠HDC，∠ADC=∠HDC，∴ ABD≌HCD（SAS）。
∴ AD=HD，∠ADB=∠HDC=45°，∴ ∠HDC=45°。
∴ ∠HDF=∠BDC-∠HDC=45°，∴ ∠HDF=∠BDE。
∵ ∠BDE=∠BFD=90°，∴ ∠HDF=∠BFD。
∴ ∠AFC=∠ADC，