向量相乘公式主要有两种：点积（内积）和叉积（外积）。
点积（内积）
点积也称为标量积，是两个向量相乘得到一个标量。对于二维向量 $\mathbf{a} = （a_1, a_2）$ 和 $\mathbf{b} = （b_1, b_2）$，它们的点积公式为：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
对于三维向量 $\mathbf{a} = （a_1, a_2, a_3）$ 和 $\mathbf{b} = （b_1, b_2, b_3）$，它们的点积公式为：
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$
点积的几何意义是两个向量的模长与它们之间夹角的余弦值的乘积。如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。
叉积（外积）
叉积是两个向量相乘得到一个新的向量。对于二维向量 $\mathbf{a} = （a_1, a_2）$ 和 $\mathbf{b} = （b_1, b_2）$，它们的叉积是一个标量，但在三维空间中，叉积是一个向量，其公式为：
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix} = （a_2 b_3 - a_3 b_2） \mathbf{i} - （a_1 b_3 - a_3 b_1） \mathbf{j} + （a_1 b_2 - a_2 b_1） \mathbf{k}$$
在三维空间中，叉积的模长等于两个向量的模长与它们之间夹角的正弦值的乘积：
$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta$$
其中，$\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。叉积的方向垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，并且遵循右手定则。
总结
点积：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$，几何意义为两个向量的模长与夹角的余弦值的乘积。
叉积：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = （a_2 b_3 - a_3 b_2） \mathbf{i} - （a_1 b_3 - a_3 b_1） \mathbf{j} + （a_1 b_2 - a_2 b_1） \mathbf{k}$，模长为 $|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta$，方向垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$。